Aljabar Boolean - Pengertian, Hukum, dan Contoh Soal Aljabar Boolean

Pengertian Aljabar Boolean

Aljabar boolean adalah aljabar yang berhubungan dengan variabel biner dan operasi logik, dimana aljabar boolean adalah sistem matematika yang terbentuk dari 3 operator logika berupa "negasi", Logika "AND" dan "OR".

Selain simbol logika "0" dan "1" yang digunakan untuk merepresentasikan input atau output digital, kita juga dapat menggunakannya sebagai konstanta pada rangkaian terbuka atau rangkaian tertutup secara permanen.

Serangkaian aturan dari ekspresi Aljabar Boolean telah diciptakan untuk membantu mengurangi jumlah gerbang logika dasar yang dibutuhkan dalam melakukan operasi logika tertentu sehingga akan dihasilkan daftar fungsi atau teorema yang dikenal umum sebagai Hukum Aljabar Boolean.

Aljabar Boolean adalah operasi matematika yang berguna dalam menganalisis gerbang dan sirkuit digital, dengan menggunakan "Hukum Boolean" ini maka akan dapat mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean yang kompleks dengan maksud untuk mengurangi jumlah gerbang logika yang diperlukan.

Oleh sebab itu, Aljabar Boolean adalah sistem matematika yang didasarkan pada logika yang memiliki seperangkat aturan atau hukum yang berguna dalam menentukan, mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean.

Variabel yang digunakan dalam Aljabar Boolean hanya memiliki dua kemungkinan yaitu logika "0" dan logika "1" tetapi ekspresi jumlah variabel yang dihasilkan tak terbatas yang semuanya dilabeli secara individual untuk mewakili input ke ekspresi.

Sebagai contoh, sebuah variabel A , B, C dll, dihasilkan sebuah ekspresi logis yaitu A + B = C, tetapi setiap variabel HANYA dapat berupa 0 atau 1.

Perhatikanlah tabel diabawah ini yang menjelaskan mengenai hukum boolean, aturan dan teorema Aljabar Boolean

Tabel Kebenaran Hukum Aljabar Boolean

Baca juga : Kumpulan Contoh Soal Gerbang Logika dan Jawaban (Update Terus)

Fungsi Aljabar Boolean

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, maka gerbang dasar AND, OR, NOT 2 input akan menghasilkan 16 fungsi yang ditunjukan pada tabel dibawah

Operasi Aljabar Boolean Dua Variabel dan Tiga Variabel

Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aljabar Boolean dua dan tiga variabel maka digunakan sifat identitas, disamping itu prinsip dualitas juga digunakan pada sifat-sifat identitas.

Jika A, B, dan C adalah Variabel Boole maka maka berlaku hukum/sifat berikut

Hukum Komutatif

Hukum Komutatif menjelaskan bahwa penukaran atau perubahan urutan variabel input atau sinyal masukan sama sekali tidak mempengaruhi variabel output suatu rangkaian logika.

Hukum Asosiatif

Hukum Asosiatif menjelaskan bahwa perubahan urutan penyelesaian operasi pada variabel tidak akan mempengaruhi variabel output suatu rangakaian logika.

Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel input pada operasi aljabar Boolean dapat disebarkan tempatnya tanpa mengubah variabel hasil dari output suatu rangkaian logika.

Hukum Absorbsi, Kombinasi, dan Konsensus

Sifat Identitas lain

Beberapa sifat pada teorema Boolean dapat dipergunakan untuk menyederhanakan suatu pernyataan logika, dengan kata lain suatu pernytaan kompleks akan dapat disederhanakan dengan menggunakan konsep teorema Boolean tanpa mengubah fungsi logikanya.

Prioritas Operasi Aljabar Boolean

Pada teorema Aljabar Boolean dikenal 3 operasi logika yaitu operasi logika OR,AND, dan NOT sehingga dapat dihasilkan berbagai bentuk fungsi logika. Demi memudahkan dalam pengoperasianya maka dipergunakan tanda kurung untuk memberikan prioritas. Pada dasarnya konsep prioritas operasi ini tidak ada bedanya dengan konsep prioritas pada operasi aritmatika.

Berikut aturan prioritas operasi Aljabar Booolean

1. Bila terdapat tanda kurung maka diselesaikan terlebih dahulu.

2. Bila tidak terdapat tanda kurung, maka suatu penyataan logika diselesaikan dengan urutan : NOT, AND setelah itu OR.

Contoh :

1. pertama kerjakan terlebih dahulu negasi A dan B

2. Lanjutkan dengan operasi

3. Kemudian baru lanjutkan dengan operasi

Contoh Soal Aljabar Boolean

Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal Aljabar Boolean

1. Suatu lokasi memori mempunyai nilai 1000 1100. Jadikan bit ke-5 dan ke-4 menjadi ‘1’, dan bit ke-3 dan ke-2 menjadi ‘0’ tanpa mengubah bit-bit yang lain!

Jawab:

Untuk menjadikan bit ke-5 dan ke-4 menjadi ‘1’ dapat dilakukan dengan operasi OR.

Untuk menjadikan bit ke-3 dan ke-2 menjadi ‘0’ dapat dilakukan dengan operasi AND.

2. Sederhanakan pernyataan logika berikut:

3. Buatlah Tabel Kebenaran untuk fungsi logika pada titik C, D dan Q pada sirkuit berikut serta identifikasi gerbang logika tunggal yang dapat digunakan untuk mengganti seluruh rangkaian tersebut.

Jawab :

Dari gambar rangkaian diatas dapat kita ketahui bawah terdapat 3 gerbang yaitu gerbang NAND 2-input, gerbang EX-OR 2-input dan terakhir gerbang EX-NOR 2-input pada bagian output.

Karena hanya ada 2 input ke sirkuit A dan B, maka ada 4 kemungkinan kombinasi input (2²) yaitu : 0-0, 0-1, 1-0 dan 1-1. Berdasarkan kombinasi input tersebut maka akan dibuat tabel kebenaran

Dari tabel kebenaran di atas, kolom C mewakili fungsi keluaran yang dihasilkan oleh gerbang NAND, sedangkan kolom D mewakili fungsi keluaran dari gerbang Ex-OR. Dari kedua ekspresi output ini kemudian menjadi kondisi input untuk gerbang Ex-NOR.

Dapat dilihat dari tabel kebenaran bahwa output di Q akan bernilai 1 apabila salah satu dari dua input A atau B berada di logika 1. Satu-satunya tabel kebenaran yang memenuhi kondisi ini yaitu tabel kebenaran gerbang OR. Oleh karena itu, seluruh rangkaian di atas dapat diganti dengan gerbang OR 2 input.

4. Temukan ekspresi Aljabar Boolean untuk sistem berikut.

Jawab :

Untuk sistem diatas terdiri dari Gerbang AND, Gerbang NOR dan Gerbang OR, ekspresi untuk gerbang AND adalah A.B, dan ekspresi untuk gerbang NOR adalah A+B. Dari kedua ekspresi ini juga memiliki input yang terpisah ke gerbang OR yang didefinisikan sebagai A+B. Jadi ekspresi keluaran akhir adalah sebagai berikut:

Output pada Q yaitu Q = (A.B) + (A+B), tetapi notasinya sama seperti notasi De'Morgan A.B maka notasi A.B diganti kedalam ekspresi output sehingga dihasilkan notasi ouput Q = (A.B)+(A.B) , dimana merupakan notasi Boolean untuk Gerbang Exclusive-NOR.

Dengan kata lain, rangkaian diatas dapat diganti dengan gerbang Exclusive-NOR.

5. Temukan ekspresi Aljabar Boolean untuk sistem berikut

Jawab :

Pada sistem rangkaian diatas mungkin terlihat lebih rumit daripada dua rangkaian sebelumnya. Jika dianalisa maka rangkaian logika diatas hanya terdiri dari gerbang dasar AND, OR dan NOT yang dihubungkan bersama.

Seperti contoh soal Aljabar Boolean sebelumnya, kita dapat menyederhanakan rangkaian sirkuit dengan menuliskan notasi Boolean pada setiap fungsi gerbang logika secara bergantian, agar didapatkan ekspresi akhir untuk output pada Q.

Output dari gerbang AND 3-input yaitu logika "1" ketika semua input gerbang adalah "HIGH" pada level logika "1" (A.B.C). Output dari gerbang OR yang lebih rendah hanya "1" ketika satu atau kedua input B atau C berada pada level logika "0".

Output dari gerbang AND 2-input adalah "1" ketika input A adalah "1" dan input B atau C berada pada "0". Maka output pada Q hanya “1” ketika input A.B.C sama dengan “1” atau A sama dengan “1” dan keduanya input B atau C sama dengan “0”, A.(B+C).

Dengan menggunakan "teorema de Morgan", input B dan input C dapat diputus untuk menghasilkan output pada Q, yang mana dapat berupa logika "1" atau pada logika "0". Maka satu-satunya input yaitu input A, sebagai satu-satunya input yang diperlukan untuk memberikan output pada Q seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Berdasarkan rangkaian logika di atas maka dapat disimpulkan bawah input pada rangkaian tersebut dapat diganti dengan hanya satu input tunggal yaitu input "A" sehingga akan mengurangi jumlah sirkutnya dengan hanya satu kawat, (atau Buffer).

Dengan menggunakan Aljabar Boolean maka melakukan analisis pada jenis rangkaian akan sangat cepat sehingga ketika dalam praktiknya kita dapat mengeliminasi gerbang logika yang tidak perlu dalam desain logika digital sehingga mengurangi jumlah gerbang yang diperlukan, konsumsi daya sirkuit serta biaya.